Увлечение фракталами является следствием работы Бенуа Б. Мандельброта, сотрудника Исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IВМ в Йорктаун-Хейтсе (шт. Нью-Йорк). Термин “фрактал” был введен Мандельбротом в 1975 г.; он происходит от латинского слова fractal, прилагательного от глагола Fractale, что значит “ломать, разбивать”. Понятие фракталов ворвалось в сознание математиков, других ученых и даже людей, не связанных с наукой, в 1983 г., когда была опубликована основополагающая книга Мандельброта “Фрактальная геометрия природы”. Фракталы дают чрезвычайно компактный способ описания объектов и процессов. Фрактальным называется объект с расползающейся, разреженной структурой. При наблюдении таких объектов с возрастающим увеличением можно видеть, что они проявляют повторяющийся на разных уровнях рисунок. 

Таким образом, одна и та же структура наблюдается в любом масштабе. Это свойство получило название инвариантности по отношению к масштабу, или “самоподобия”. Инвариантность по отношению к масштабу имеет примечательную параллель в современной теории хаоса, согласно которой многие явления, несмотря на то, что они следуют четким детерминистским правилам, в принципе оказываются непредсказуемыми. Хаотические явления, такие, как турбулентность атмосферы или ритм сердечных сокращений у человека, проявляют сходные закономерности в вариациях в различных временных масштабах во многом подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, проявляют сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах. Соответствие между фракталами и хаосом не случайно. Скорее оно является симптомом их глубинной связи: фрактальная геометрия — это геометрия хаоса. См. статьи: 

Х. Юрген, Х.-О. Пайтген, Д.Заупе Язык фракталов ("В мире науки, 1990, № 10, С. 32),

Э.Л. Голдбергер, Д.Р. Ригни, Б.Дж. Уэст, Хаос и фракталы в физиологии человека ("В мире науки, 1990, № 10),

Л.М. Сандер Фрактальный рост ("В мире науки, 1987, № 3, С. 62),

А.К.Дьюдни Аффинные преобразования и фрактальные структуры ("В Мире Науки", 1990, №7, с.82.

Фрактальные структуры изображены и на знаменитой книжной миниатюре "Бог-геометр" с фронтисписа «Нравственной Библии» XIII в. (Австрийская национальная библиотека) - рис. справа.

Верхний рисунок получен с помощью программы Julia Set Explorer 2.0  из пакета Corel PHOTO-PAINT 7. Есть онлайновые модули, реализованные на Java (см. Julia and Mandelbrot Set Explorer), а также ряд специальных программ.

Все эти рисунки сделаны в программе LS IFS 2.1 Максима Чинякина.В переписке с ним возник вопрос:
Самые яркие примеры самоподобных структур в биологии – отнюдь не у прогрессивных: лопастная линия аммонитов, всё более фрактализировавшая, пока не вымерли в мезозое; папоротники тоже отнюдь не самая прогрессивная группа, дихотомическое ветвление - у астероксилона, жилкование - у реликта гинго и т. п… Не являются ли фрактальные решения эдакой «домашней заготовкой», применяемой по умолчанию, пока не найдены более эффективные генетически детерминированные решения?
Да и с применением фракталов в биологии дела обстоят не лучшим образом. Фраза, что книга Мандельброта не утратила своей актуальности за 30 лет, как и надпись «100 тыс. км. без капремонта», не радует, а пугает. За это время научились гены синтезировать, выделять, пересаживать, картировать, опять пересаживать и т.п. – а фракталами любуемся на досуге.
 

См. урок "Фрактальные построения и биологические объекты", статью "Фракталы в природе", а также записи с тегом фракталы в блоге. См. также серию микрофотографий сканирующего электронного микроскопа - фрактальные кристаллы меди, нарастающие на катоде (BBC news + тут).
Слева - фрактальные блинчики с замечательного сайта saipancakes.

На "Элементах" размещен интерактивный постер, посвященный фракталам (эскиз справа): страница с  интерактивной моделью,  постер (2.1 Мб).